9. Площадь прямоугольного треугольника равна 96 см², а катеты треугольника, подобного данному, относятся как 6 : 8. Найдите периметр данного треугольника. Ответ:

Пусть данный прямоугольный треугольник имеет катеты \( a \) и \( b \). Его площадь \( S = \frac{1}{2}ab = 96 \text{ см}^2 \).

Пусть подобный треугольник имеет катеты \( a' \) и \( b' \). По условию, \( \frac{a'}{b'} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \).

Так как треугольники подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \( k \). Пусть \( a' = ka \) и \( b' = kb \). Тогда

\[ \frac{ka}{kb} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \]

Значит, катеты данного треугольника относятся как 3:4. То есть, \( a = 3x \) и \( b = 4x \) (или наоборот, это не повлияет на результат).

Теперь подставим эти значения в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} (3x)(4x) = 96 \]

\[ \frac{1}{2} (12x^2) = 96 \]

\[ 6x^2 = 96 \]

\[ x^2 = \frac{96}{6} \]

\[ x^2 = 16 \]

\[ x = 4 \]

Найдем длины катетов данного треугольника:

\( a = 3x = 3 × 4 = 12 \text{ см} \)

\( b = 4x = 4 × 4 = 16 \text{ см} \)

Теперь найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 12^2 + 16^2 \]

\[ c^2 = 144 + 256 \]

\[ c^2 = 400 \]

\[ c = √{400} = 20 \text{ см} \]

Периметр данного треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\( P = a + b + c = 12 + 16 + 20 = 48 \text{ см} \)

Ответ: 48