8.20.8. Реши задачу и запиши ответ Проводящий стержень длиной l = 10 см и массой m = 20 г подвешен на двух одинаковых непроводящих нитях и помещён в однородное горизонтальное магнитное поле с индукцией B = 1 Тл, как показано на рисунке. Чему равна сила тока в стержне, если после замыкания ключа натяжение каждой нити уменьшилось в n = 2 раза? При замыкании ключа нити остаются натянутыми.

Решение:

Дано:

Длина стержня \( l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \)

Масса стержня \( m = 20 \text{ г} = 0.02 \text{ кг} \)

Индукция магнитного поля \( B = 1 \text{ Тл} \)

Уменьшение натяжения в \( n = 2 \) раза.

Найти:

Сила тока \( I \)

Решение:

На стержень действуют сила тяжести \( mg \) (направлена вниз), сила натяжения нитей \( 2T \) (направлена вверх) и сила Ампера \( F_A \) (направлена горизонтально).

До замыкания ключа (без силы тока):

Сумма сил, действующих на стержень по вертикали, равна нулю (стержень находится в покое):

\[ 2T_0 = mg \]где \( T_0 \) — начальное натяжение каждой нити.

После замыкания ключа (с силой тока):

Натяжение каждой нити уменьшилось в \( n=2 \) раза, то есть стало \( T = T_0 / n \).

На стержень действует сила Ампера \( F_A \), направленная горизонтально (по рисунку — вправо).

Запишем условие равновесия для стержня после замыкания ключа. Сила Ампера направлена горизонтально, а сила тяжести и сила натяжения — вертикально. Сила Ампера компенсирует часть силы тяжести, поэтому натяжение нитей уменьшилось.

Сила Ампера равна:

\[ F_A = I − B l \]где \( I \) — сила тока, \( B \) — индукция магнитного поля, \( l \) — длина стержня.

Условие равновесия для стержня после замыкания ключа (суммарная сила вверх равна сумме сил вниз):

\[ 2T + F_A = mg \]

Из условия задачи известно, что \( T = T_0 / n \).

\[ 2\frac{T_0}{n} + F_A = mg \]

Мы знаем, что \( 2T_0 = mg \), поэтому \( T_0 = mg / 2 \). Подставим это в уравнение:

\[ 2\frac{mg/2}{n} + F_A = mg \]\[ \frac{mg}{n} + F_A = mg \]

Теперь выразим силу Ампера:

\[ F_A = mg - \frac{mg}{n} = mg \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \]

Подставим выражение для силы Ампера \( F_A = IBl \):

\[ IBl = mg \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \]

Выразим силу тока \( I \):

\[ I = \frac{mg}{Bl} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \]

Подставим числовые значения:

\[ I = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ Тл} \cdot 0.1 \text{ м}} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \]\[ I = \frac{0.196}{0.1} \left( \frac{1}{2} \right) \]\[ I = 1.96 \cdot 0.5 \]\[ I = 0.98 \text{ А} \]

Примечание: Если принять \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \), то:

\[ I = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{1 \text{ Тл} \cdot 0.1 \text{ м}} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \]\[ I = \frac{0.2}{0.1} \left( \frac{1}{2} \right) \]\[ I = 2 \cdot 0.5 \]\[ I = 1 \text{ А} \]

Ответ: сила тока в стержне равна 0.98 А (или 1 А при g=10 м/с²).