7. Найдите наименьшее целое значение аргумента, принадлежащее области определения функции y = \( \frac{\sqrt{x + 8}}{x^2 - 2x - 80} \).

Решение:

Область определения функции определяется условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x + 8 \ge 0 \) \( \implies x \ge -8 \).
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: \( x^2 - 2x - 80
   e 0 \).

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 80 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \)

Таким образом, знаменатель не равен нулю, если \( x
e 10 \) и \( x
e -8 \).

Объединяем условия: \( x \ge -8 \), \( x
e 10 \) и \( x
e -8 \).

Это означает, что \( x > -8 \) и \( x
e 10 \).

Наименьшее целое значение аргумента, удовлетворяющее условию \( x > -8 \), это -7.

Ответ: -7.