7. Найдите корень уравнения \(\sqrt{-10-7x}\) = -x. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение:

У нас есть уравнение \[ \sqrt{-10-7x} = -x \]

Для того чтобы решить это уравнение, нам нужно учесть два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(-10-7x \geq 0\)
2. Правая часть уравнения (после знака равенства) должна быть неотрицательной, так как квадратный корень всегда неотрицателен: \(-x \geq 0 \implies x \leq 0\)

Давайте решим первое неравенство:

\(-10-7x \geq 0 \implies -7x \geq 10 \implies x \leq -\frac{10}{7}\)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( (\sqrt{-10-7x})^2 = (-x)^2 \)

\[ -10-7x = x^2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем теорему Виета:

Сумма корней = -7, Произведение корней = 10.

Легко подобрать корни: \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -5\).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни нашим условиям:

• Условие 1: \(x \leq -\frac{10}{7} \approx -1.43\)
• Условие 2: \(x \leq 0\)

Проверяем \(x_1 = -2\):

• \(-2 \leq -\frac{10}{7}\) (Верно)
• \(-2 \leq 0\) (Верно)

Проверяем \(x_2 = -5\):

• \(-5 \leq -\frac{10}{7}\) (Верно)
• \(-5 \leq 0\) (Верно)

Оба корня подходят.

В задании просят указать меньший корень, если их несколько.

Сравниваем \(-2\) и \(-5\). Меньший корень — это \(-5\).

Ответ: -5