7. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки Д и Е так, что отрезки AD и СЕ равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и ВЕ тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \), точки D, E на AC. \( AD = CE \), \( BD = BE \).

Доказать: \( \Delta ABC \) — равнобедренный (т.е. \( AB = BC \) или \( \angle BAC = \angle BCA \)).

Доказательство:

Рассмотрим \( \Delta BDE \). Так как \( BD = BE \), то \( \Delta BDE \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle BDE = \angle BED \).

Углы \( \angle BDE \) и \( \angle BAC \) являются смежными для \( \angle BDA \) (при вершине D на прямой AC).

Углы \( \angle BED \) и \( \angle BCA \) являются смежными для \( \angle BEC \) (при вершине E на прямой AC).

Рассмотрим треугольники \( \Delta ABD \) и \( \Delta CBE \).

У нас есть: \( AD = CE \) (по условию).

\( BD = BE \) (по условию).

Углы \( \angle BDA \) и \( \angle BEC \) — смежные для углов \( \angle BDE \) и \( \angle BED \) соответственно. Так как \( \angle BDE = \angle BED \) (углы при основании равнобедренного \( \Delta BDE \)), то \( \angle BDA = \angle BEC \) (как смежные с равными углами).

Таким образом, в \( \Delta ABD \) и \( \Delta CBE \) равны:

1. Сторона \( AD = CE \).

2. Сторона \( BD = BE \).

3. Угол \( \angle BDA = \angle BEC \).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \Delta ABD = \Delta CBE \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:

\( AB = CB \) (стороны, противолежащие равным углам \( \angle BDA \) и \( \angle BEC \)).

\( \angle BAD = \angle BCE \) (углы, противолежащие равным сторонам \( BD \) и \( BE \)).

Так как \( AB = CB \), то \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.