6. Решите уравнение х² + y² + 10x + 6y + 34 = 0.

Решение:

Сгруппируем члены уравнения и выделим полные квадраты:

\[ (x^2 + 10x) + (y^2 + 6y) + 34 = 0 \]

Чтобы выделить полный квадрат из \( x^2 + 10x \), добавим и вычтем \( (10/2)^2 = 5^2 = 25 \):

\[ (x^2 + 10x + 25) - 25 \]

Чтобы выделить полный квадрат из \( y^2 + 6y \), добавим и вычтем \( (6/2)^2 = 3^2 = 9 \):

\[ (y^2 + 6y + 9) - 9 \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ (x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 34 = 0 \]

Теперь свернём полные квадраты:

\[ (x + 5)^2 + (y + 3)^2 - 25 - 9 + 34 = 0 \]
\[ (x + 5)^2 + (y + 3)^2 - 34 + 34 = 0 \]
\[ (x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 0 \]

Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. Поскольку \( x \) и \( y \) — действительные числа, их квадраты неотрицательны.

\[ (x + 5)^2 = 0 \] и \( (y + 3)^2 = 0 \]

Отсюда:

\[ x + 5 = 0 y + 3 = 0 \]
\[ x = -5 y = -3 \]

Ответ: x = -5, y = -3.