6. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(1; 1), В(-4; 4), С (- 2; 6) и D (3; 1) является прямоугольником.

Решение:

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что все его углы прямые. Это можно сделать, доказав, что:

1. Противоположные стороны параллельны и равны (т.е. это параллелограмм).
2. Диагонали равны.

Или, проще, доказать, что это параллелограмм и одна из диагоналей равна другой, либо что соседние стороны перпендикулярны.

1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом.

Для этого найдем длины противоположных сторон:

Длина стороны AB: \( AB = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \).

Длина стороны CD: \( CD = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} \).

Длина стороны BC: \( BC = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \).

Длина стороны DA: \( DA = \sqrt{(1 - 3)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \).

Видим, что \( AB \neq CD \) и \( BC \neq DA \). Следовательно, ABCD не является параллелограммом. В этом случае, мы не можем утверждать, что он прямоугольник, основываясь на свойствах параллелограмма.

Перепроверим расчеты.

A(1; 1), В(-4; 4), С (- 2; 6) и D (3; 1)

AB: \( \sqrt{(-4-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \).

CD: \( \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} \).

BC: \( \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \).

DA: \( \sqrt{(1 - 3)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \).

Возможно, в условии задачи есть опечатка, так как при таких координатах ABCD не является параллелограммом, а значит, и не может быть прямоугольником.

Предположим, что точки были даны в другом порядке или есть ошибка в координатах.

Давайте проверим условие перпендикулярности сторон, если бы это был параллелограмм.

Найдем векторы сторон:

\( \vec{AB} = (-4 - 1; 4 - 1) = (-5; 3) \)

\( \vec{BC} = (-2 - (-4); 6 - 4) = (2; 2) \)

\( \vec{CD} = (3 - (-2); 1 - 6) = (5; -5) \)

\( \vec{DA} = (1 - 3; 1 - 1) = (-2; 0) \)

Если ABCD - прямоугольник, то \( \vec{AB} \) должен быть перпендикулярен \( \vec{BC} \). Скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-5) \cdot 2 + 3 \cdot 2 = -10 + 6 = -4 \]

Так как скалярное произведение не равно нулю, стороны AB и BC не перпендикулярны.

Вывод: Исходя из предоставленных координат, четырёхугольник ABCD не является прямоугольником. Для доказательства прямоугольника необходимо, чтобы выполнялись условия параллельности противоположных сторон и равенства диагоналей, либо перпендикулярность смежных сторон. В данном случае эти условия не выполняются.

Возможно, следует проверить другие комбинации сторон или диагоналей, если предполагается, что это все же прямоугольник.

Рассмотрим диагонали:

Диагональ AC: \( AC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \).

Диагональ BD: \( BD = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \).

Так как \( AC \neq BD \), то четырёхугольник не является прямоугольником (даже если бы он был параллелограммом).

Ответ: Четырёхугольник ABCD с данными координатами не является прямоугольником.