5) В одной системе координат построить графики функций \( f(x) = \sqrt{x} \) и \( g(x) = x^3 \) и найти координаты точек пересечения.

Решение:

1. Построим графики функций:

Функция \( f(x) = \sqrt{x} \):

• Область определения: \( x \ge 0 \).
• График начинается в точке (0;0).
• Найдём несколько точек: \( (0;0), (1;1), (4;2) \).

Функция \( g(x) = x^3 \):

• Область определения: \( x \in R \).
• График проходит через точки: \( (0;0), (1;1), (-1;-1) \).

2. Найдем точки пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем функции:

\[ \sqrt{x} = x^3 \]

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{x})^2 = (x^3)^2 \]\[ x = x^6 \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x^6 - x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x^5 - 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

• \( x = 0 \)
• \( x^5 - 1 = 0 → x^5 = 1 → x = 1 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в любую из исходных функций. Возьмём \( g(x) = x^3 \):

• При \( x = 0 \): \( y = 0^3 = 0 \). Точка пересечения: (0;0).
• При \( x = 1 \): \( y = 1^3 = 1 \). Точка пересечения: (1;1).

3. Визуализация:

Ответ: Точки пересечения графиков: (0;0) и (1;1).