5. Староста класса решил узнать, кто из учеников класса задействован в спортивном, учебном и организаторском комитетах. Результаты опроса оказались таковы: в спортивном 13 учеников; в учебном 15 учеников; в организаторском 12 учеников; в спортивном и организаторском – 5 учеников; в организаторском и учебном – 8 учеников; в спортивном и учебном – 6 учеников; в трех комитетах 2 ученика. Сколько учеников задействованы только в одном из комитетов?

Решение:

Обозначим множества учеников, задействованных в комитетах:

• С — спортивный комитет
• У — учебный комитет
• О — организаторский комитет

По условию задачи нам дано:

• \( |С| = 13 \)
• \( |У| = 15 \)
• \( |О| = 12 \)
• \( |С \cap О| = 5 \)
• \( |О \cap У| = 8 \)
• \( |С \cap У| = 6 \)
• \( |С \cap О \cap У| = 2 \)

Найдем количество учеников, задействованных только в одном комитете.

1. Только в спортивном комитете:

\( |С_{только}| = |С| - (|С \cap О| - |С \cap О \cap У|) - (|С \cap У| - |С \cap О \cap У|) - |С \cap О \cap У| \)

\( |С_{только}| = 13 - (5 - 2) - (6 - 2) - 2 = 13 - 3 - 4 - 2 = 4 \) ученика.

2. Только в учебном комитете:

\( |У_{только}| = |У| - (|С \cap У| - |С \cap О \cap У|) - (|О \cap У| - |С \cap О \cap У|) - |С \cap О \cap У| \)

\( |У_{только}| = 15 - (6 - 2) - (8 - 2) - 2 = 15 - 4 - 6 - 2 = 3 \) ученика.

3. Только в организаторском комитете:

\( |О_{только}| = |О| - (|С \cap О| - |С \cap О \cap У|) - (|О \cap У| - |С \cap О \cap У|) - |С \cap О \cap У| \)

\( |О_{только}| = 12 - (5 - 2) - (8 - 2) - 2 = 12 - 3 - 6 - 2 = 1 \) ученик.

4. Общее количество учеников, задействованных только в одном комитете:

\( |С_{только}| + |У_{только}| + |О_{только}| = 4 + 3 + 1 = 8 \) учеников.

Ответ: 8 учеников.