5. Сократите дробь \( \frac{b + 2\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + b} \).

Решение:

Числитель дроби представляет собой полный квадрат суммы:

\( b + 2\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^2 + 2\sqrt{b} + 1^2 = (\sqrt{b} + 1)^2 \)

Знаменатель дроби можно разложить, вынеся \( \sqrt{b} \) за скобки:

\( \sqrt{b} + b = \sqrt{b}(1 + \sqrt{b}) \)

Теперь подставим это в дробь:

\( \frac{(\sqrt{b} + 1)^2}{\sqrt{b}(1 + \sqrt{b})} \)

Сокращаем на \( (\sqrt{b} + 1) \):

\( \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}} \)

Можно также представить в виде:

\( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{b}} \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b}} \) или \( 1 + \frac{1}{\sqrt{b}} \);