5. Решите неравенство: a) \( \log_{3} (1-x) > \log_{3} (3-2x) \) б) \( (\frac{1}{5})^{x-1} + (\frac{1}{5})^{x+1} \le 26 \) в) \( \frac{(x+1)(x-4)}{x^2+x-6} > 0 \)

Решение:

1. a) \( \log_{3} (1-x) > \log_{3} (3-2x) \)
   ОДЗ:
   \( 1-x > 0 \Rightarrow x < 1 \)
   \( 3-2x > 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < 1.5 \)
   Общая ОДЗ: \( x < 1 \).
   Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), то:
   \( 1-x > 3-2x \)
   \( 2x - x > 3 - 1 \)
   \( x > 2 \).
   Решений нет, так как \( x > 2 \) и \( x < 1 \) несовместимы.
2. б) \( (\frac{1}{5})^{x-1} + (\frac{1}{5})^{x+1} \le 26 \)
   \( (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{-1} + (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{1} \le 26 \)
   \( 5 \cdot (\frac{1}{5})^x + \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{5})^x \le 26 \)
   Пусть \( y = (\frac{1}{5})^x \). Тогда:
   \( 5y + \frac{1}{5}y \le 26 \)
   \( (5 + \frac{1}{5})y \le 26 \)
   \( (\frac{25+1}{5})y \le 26 \)
   \( \frac{26}{5}y \le 26 \)
   \( y \le 26 \cdot \frac{5}{26} \)
   \( y \le 5 \).
   Подставляем обратно \( y = (\frac{1}{5})^x \):
   \( (\frac{1}{5})^x \le 5 \)
   \( 5^{-x} \le 5^1 \).
   Так как основание \( 5 > 1 \), то:
   \( -x \le 1 \)
   \( x \ge -1 \).
3. в) \( \frac{(x+1)(x-4)}{x^2+x-6} > 0 \)
   Разложим знаменатель на множители:
   \( x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \).
   Получаем дробь:
   \( \frac{(x+1)(x-4)}{(x+3)(x-2)} > 0 \).
   Найдём корни числителя и знаменателя:
   \( x = -1, x = 4, x = -3, x = 2 \).
   Отметим эти корни на числовой оси и определим знаки интервалов:
   \( (-\infty, -3) \): \( \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = + \)
   \( (-3, -1) \): \( \frac{(-)(-)}{(+)(-)} = - \)
   \( (-1, 2) \): \( \frac{(+)(-)}{(+)(-)} = + \)
   \( (2, 4) \): \( \frac{(+)(-)}{(+)(+)} = - \)
   \( (4, \infty) \): \( \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = + \).
   Неравенство строгое \( > 0 \), поэтому корни числителя не включаются, а корни знаменателя исключаются.
   Решение: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty) \).

Ответ: а) Решений нет; б) \( x \ge -1 \); в) \( x \in (-\infty, -3) \cup (-1, 2) \cup (4, \infty) \).