5. Найдите синус угла C прямоугольного треугольника с гипотенузой АС, если ВС=5, АС=10.

Задание 5. Синус угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Гипотенуза \( \text{AC} = 10 \).
• Катет \( \text{BC} = 5 \).
• Нужно найти синус угла \( \text{C} \).

Обрати внимание: в условии сказано, что гипотенуза — это \( \text{AC} \). Это означает, что прямой угол находится в вершине \( \text{B} \). Следовательно, \( \text{BC} \) — это катет, противолежащий углу \( \text{A} \), а \( \text{AB} \) — это катет, противолежащий углу \( \text{C} \).

Формула синуса для угла \( \text{C} \):

\[ \text{sin C} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

Противолежащий катет для угла \( \text{C} \) — это катет \( \text{AB} \).

Нам известен катет \( \text{BC} \) и гипотенуза \( \text{AC} \). Сначала найдем длину катета \( \text{AB} \) по теореме Пифагора:

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

\[ AB^2 + 5^2 = 10^2 \]

\[ AB^2 + 25 = 100 \]

\[ AB^2 = 100 - 25 \]

\[ AB^2 = 75 \]

\[ AB = \(\sqrt{75}\) = \(\sqrt{25 \times 3}\) = 5\(\sqrt{3}\) \)

Теперь найдем синус угла \( \text{C} \):

\[ \(\text{sin C}\) = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{5\sqrt{3}}{10}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \)

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$