5. \( \int_{-1}^{3} (\sqrt{x} + 5\sqrt[3]{x} + 3) dx \)

Решение:

Представим корни в виде степеней: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \).

1. Перепишем интеграл: \( \int_{-1}^{3} (x^{1/2} + 5x^{1/3} + 3) dx \)
2. Проинтегрируем каждый член, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): \( \left[ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + 5 \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} + 3x \right]_{-1}^{3} \)
3. Упростим: \( \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} + 5 \frac{x^{4/3}}{4/3} + 3x \right]_{-1}^{3} = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{15}{4}x^{4/3} + 3x \right]_{-1}^{3} \)
4. Подставим верхний предел: \( \frac{2}{3}(3)^{3/2} + \frac{15}{4}(3)^{4/3} + 3(3) \)
5. Подставим нижний предел: \( \frac{2}{3}(-1)^{3/2} + \frac{15}{4}(-1)^{4/3} + 3(-1) \)
6. Вычислим и вычтем: \( \left( \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} + \frac{15}{4} \cdot 3\sqrt[3]{3} + 9 \right) - \left( \frac{2}{3}i + \frac{15}{4} \cdot 1 - 3 \right) \)
7. Заметим, что \( (-1)^{3/2} = ((-1)^3)^{1/2} = (-1)^{1/2} = i \) и \( (-1)^{4/3} = ((-1)^4)^{1/3} = 1^{1/3} = 1 \).
8. Окончательный результат: \( 2\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt[3]{3} + 9 - \frac{15}{4} + 3i = 2\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt[3]{3} + \frac{21}{4} + 3i \)

Ответ: \( 2\sqrt{3} + \frac{45}{4}\sqrt[3]{3} + \frac{21}{4} + 3i \)