4. В окружности с центром в точке О проведены хорда АВ и диаметр ВС. Найдите углы треугольника AOC, если \(\angle\) AOB=146°.

Решение:

\( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, градусная мера дуги AB равна \( 146^{\circ} \).

\( \angle COB \) — развёрнутый угол, так как BC — диаметр. \( \angle COB = 180^{\circ} \).

\( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу AC. Дуга AC равна разности между \( \angle COB \) и \( \angle AOB \): \( \text{дуга } AC = \angle COB - \angle AOB = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle AOC = 34^{\circ} \).

В треугольнике AOC стороны OA и OC являются радиусами окружности, поэтому \( OA = OC \). Треугольник AOC — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. \( \angle OAC = \angle OCA \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \).

\( 34^{\circ} + 2 \angle OAC = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle OAC = 180^{\circ} - 34^{\circ} = 146^{\circ} \).

\( \angle OAC = \frac{146^{\circ}}{2} = 73^{\circ} \).

Значит, \( \angle OAC = \angle OCA = 73^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOC = 34^{\circ}, \angle OAC = 73^{\circ}, \angle OCA = 73^{\circ} \).