4. Решите уравнение: a) \( \left(\frac{1}{27}\right)^{0.5x-1} = 9 \) б) \( \log_{7}(2x+5) = 2 \) в) \( (\log_{\frac{1}{2}} x)^2 - \log_{\frac{1}{2}} x = 6 \) г) \( \sqrt{7 - x^2} = \sqrt{-6x} \) д) \( 2\sin x - 1 = 0 \). Укажите наибольший отрицательный корень в градусах.

Решение:

1. a) \( \left(\frac{1}{27}\right)^{0.5x-1} = 9 \)
   \( (3^{-3})^{0.5x-1} = 3^2 \)
   \( 3^{-3(0.5x-1)} = 3^2 \)
   \( -1.5x + 3 = 2 \)
   \( -1.5x = -1 \)
   \( x = \frac{-1}{-1.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
2. б) \( \log_{7}(2x+5) = 2 \)
   \( 2x+5 = 7^2 \)
   \( 2x+5 = 49 \)
   \( 2x = 44 \)
   \( x = 22 \)
3. в) \( (\log_{\frac{1}{2}} x)^2 - \log_{\frac{1}{2}} x = 6 \)
   Пусть \( y = \log_{\frac{1}{2}} x \). Тогда \( y^2 - y - 6 = 0 \).
   \( (y-3)(y+2) = 0 \)
   \( y = 3 \) или \( y = -2 \).
   \( \log_{\frac{1}{2}} x = 3 \) \(\, \Rightarrow \, \) \( x = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} \).
   \( \log_{\frac{1}{2}} x = -2 \) \(\, \Rightarrow \, \) \( x = (\frac{1}{2})^{-2} = 4 \).
4. г) \( \sqrt{7 - x^2} = \sqrt{-6x} \)
   Возведём обе части в квадрат:
   \( 7 - x^2 = -6x \)
   \( x^2 - 6x - 7 = 0 \)
   \( (x-7)(x+1) = 0 \)
   \( x = 7 \) или \( x = -1 \).
   Проверим ОДЗ:
   При \( x=7 \): \( \sqrt{7-49} = \sqrt{-42} \) — не имеет смысла.
   При \( x=-1 \): \( \sqrt{7-(-1)^2} = \sqrt{7-1} = \sqrt{6} \). \( \sqrt{-6(-1)} = \sqrt{6} \). Равенство выполняется.
   \( x = -1 \)
5. д) \( 2\sin x - 1 = 0 \)
   \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
   Переведём в градусы: \( 180^{\circ} \) соответствует \( \pi \) радиан.
   \( x = 30^{\circ} + 360^{\circ} k \) или \( x = 150^{\circ} + 360^{\circ} k \).
   Наибольший отрицательный корень:
   При \( k = -1 \) для первой серии: \( x = 30^{\circ} - 360^{\circ} = -330^{\circ} \).
   При \( k = -1 \) для второй серии: \( x = 150^{\circ} - 360^{\circ} = -210^{\circ} \).
   Наибольший отрицательный корень — \( -210^{\circ} \).

Ответ: а) \( x = \frac{2}{3} \), б) \( x = 22 \), в) \( x = \frac{1}{8}, x = 4 \), г) \( x = -1 \), д) \( -210^{\circ} \).