№ 4. Окружность с центром в точке О радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что L OAB=30°, L OCB=45°. Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Решение:

Дан треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O и радиусом R = 16 см.

1. Найдём сторону AB:

Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB — радиусы окружности, то OA = OB = 16 см. Треугольник OAB — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB \) — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Сумма углов в треугольнике OAB равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \]

Теперь найдём длину стороны AB, используя теорему косинусов в треугольнике OAB:

\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^{\circ}) \]

\[ AB^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ AB^2 = 512 + 256 = 768 \]

\[ AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Найдём сторону BC:

Рассмотрим треугольник OCB. Так как OC и OB — радиусы окружности, то OC = OB = 16 см. Треугольник OCB — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Сумма углов в треугольнике OCB равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OCB + \angle OBC) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \]

Теперь найдём длину стороны BC, используя теорему косинусов в треугольнике OCB:

\[ BC^2 = OC^2 + OB^2 - 2 \cdot OC \cdot OB \cdot \cos(\angle BOC) \]

\[ BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(90^{\circ}) \]

\[ BC^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot 0 \]

\[ BC^2 = 512 \]

\[ BC = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: АВ = 16\(\sqrt{3}\) см, ВС = 16\(\sqrt{2}\) см.