4. Найдите значение выражения, используя свойства степеней: 8^{16} \(\cdot\) 8^4 a) \(\overline{8^{15}}\); б) \(\frac{(-2)^7 \cdot (-2)^5}{(-2)^8}\); в) 7^{14} : (7^5)^2 \(\cdot\) 7^3.

Решение:

1. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 8^{16} \cdot 8^4 = 8^{16+4} = 8^{20} \).
2. Используем свойства степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( \frac{(-2)^7 \cdot (-2)^5}{(-2)^8} = \frac{(-2)^{7+5}}{(-2)^8} = \frac{(-2)^{12}}{(-2)^8} = (-2)^{12-8} = (-2)^4 = 16 \).
3. Используем свойства степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 7^{14} : (7^5)^2 \cdot 7^3 = 7^{14} : 7^{5 \cdot 2} \cdot 7^3 = 7^{14} : 7^{10} \cdot 7^3 = 7^{14-10} \cdot 7^3 = 7^4 \cdot 7^3 = 7^{4+3} = 7^7 \).

Ответ: а) \( 8^{20} \); б) \( 16 \); в) \( 7^7 \).