4. Найдите значение выражения, используя свойства степеней: 10^{15} \(\cdot\) 10^{-7} a) \(\overline{10^{19}}\); б) \(\frac{(-3)^5 \cdot (-3)^-3}{(-3)^7}\); в) 5^{20} : (5^2)^5 \(\cdot\) 5^8.

Решение:

1. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 10^{15} \cdot 10^{-7} = 10^{15+(-7)} = 10^8 \).
2. Используем свойства степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^{-3}}{(-3)^7} = \frac{(-3)^{5+(-3)}}{(-3)^7} = \frac{(-3)^2}{(-3)^7} = (-3)^{2-7} = (-3)^{-5} = \frac{1}{(-3)^5} = \frac{1}{-243} = -\frac{1}{243} \).
3. Используем свойства степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m : a^n = a^{m-n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( 5^{20} : (5^2)^5 \cdot 5^8 = 5^{20} : 5^{2 \cdot 5} \cdot 5^8 = 5^{20} : 5^{10} \cdot 5^8 = 5^{20-10} \cdot 5^8 = 5^{10} \cdot 5^8 = 5^{10+8} = 5^{18} \).

Ответ: а) \( 10^8 \); б) \( -\frac{1}{243} \); в) \( 5^{18} \).