4. На рисунке точка М является серединой отрезков АС и ВД. Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

Решение:

Дано: M — середина AC, M — середина BD.

Доказать: BC || AD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle BMC \) и \( \triangle DMA \).
2. По условию, M — середина AC, значит, \( AM = MC \).
3. По условию, M — середина BD, значит, \( BM = MD \).
4. Углы \( \angle BMC \) и \( \angle DMA \) являются вертикальными, следовательно, \( \angle BMC = \angle DMA \).
5. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle BMC = \triangle DMA \).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Значит, \( \angle MBC = \angle MDA \) и \( \angle MCB = \angle MAD \).
7. Углы \( \angle MBC \) и \( \angle MDA \) являются накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Поскольку эти углы равны, то прямые BC и AD параллельны.

Доказано.