4. а) Изобразите окружность, соответствующую уравнению (х-3)²+(y-5)²=49. b) Определите взаимное расположение окружности (х-3)²+(у-5)²=49 и прямой x=-2

Решение:

а) Изображение окружности:

Уравнение окружности имеет вид \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \), где \( (a; b) \) — центр окружности, а \( R \) — радиус.

В данном уравнении \( (x-3)^2 + (y-5)^2 = 49 \):

• Центр окружности \( O = (3; 5) \).
• Радиус окружности \( R = \sqrt{49} = 7 \).

Для изображения нужно начертить систему координат, отметить центр \( (3; 5) \) и провести окружность радиусом 7.

b) Взаимное расположение окружности и прямой x = -2:

Чтобы определить взаимное расположение, сравним расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

1. Центр окружности: \( O = (3; 5) \).
2. Радиус окружности: \( R = 7 \).
3. Прямая задана уравнением \( x = -2 \). Это вертикальная прямая.
4. Расстояние от точки \( (x_0; y_0) \) до вертикальной прямой \( x = c \) равно \( |x_0 - c| \).
5. В данном случае расстояние от центра \( (3; 5) \) до прямой \( x = -2 \) равно: \( d = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5 \).
6. Сравним расстояние \( d \) с радиусом \( R \): \( d = 5 \) и \( R = 7 \).
7. Так как \( d < R \) (5 < 7), то прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: а) Центр окружности в точке (3; 5), радиус равен 7. b) Прямая пересекает окружность в двух точках.