3. Во время новогодних каникул мальчик на санках скатился с горки высотой 10 метров, в конце спуска он сбил девочку и дальше на санках ехали они вместе какой скоростью они ехали, если масса девочки в 2 раза меньше, чем мальчиш массой санок и трением можно пренебречь?

Задание 3. Мальчик и девочка на санках

Дано:

• Высота горки: \( h = 10 \) м.
• Мальчик с санками стартует с вершины горки.
• В конце спуска мальчик сбивает девочку, и они едут вместе.
• Масса девочки в 2 раза меньше, чем масса мальчика с санками: \( m_д = 0.5 m_{м+с} \)
• Трение и сопротивление воздуха пренебрежимо малы.

Найти: Скорость мальчика и девочки вместе в конце спуска.

Решение:

Сначала найдем скорость мальчика с санками в конце спуска, используя закон сохранения энергии. Начальная энергия (на вершине горки) — это потенциальная энергия. Конечная энергия (у подножия горки) — это кинетическая энергия.

Начальная энергия: \( E_п = (m_{м+с}) g h \), где \( m_{м+с} \) — масса мальчика с санками, \( g \) — ускорение свободного падения, \( h \) — высота горки.

Конечная энергия: \( E_k = \frac{1}{2} (m_{м+с}) v_{м+с}^2 \), где \( v_{м+с} \) — скорость мальчика с санками в конце спуска.

По закону сохранения энергии: \( E_п = E_k \)

\[ (m_{м+с}) g h = \frac{1}{2} (m_{м+с}) v_{м+с}^2 \]

Сократим \( m_{м+с} \) (масса не равна нулю):

\[ g h = \frac{1}{2} v_{м+с}^2 \]

Выразим \( v_{м+с}^2 \):

\[ v_{м+с}^2 = 2 g h \]

Найдем \( v_{м+с} \):

\[ v_{м+с} = √{2 g h} \]

Подставим значения \( g ≈ 9.8 \) м/с² и \( h = 10 \) м:

\[ v_{м+с} = √{2 · 9.8 · 10} = √{196} = 14 \) м/с.

Теперь, в конце спуска, к мальчику на санках присоединяется девочка. Масса девочки в 2 раза меньше, чем масса мальчика с санками. Пусть \( M_{м+с} \) — масса мальчика с санками. Тогда масса девочки \( m_д = 0.5 M_{м+с} \).

Общая масса системы после столкновения (когда они едут вместе): \( M_{общ} = M_{м+с} + m_д = M_{м+с} + 0.5 M_{м+с} = 1.5 M_{м+с} \).

В момент, когда мальчик сбил девочку, скорость системы «мальчик + санки» равна \( v_{м+с} = 14 \) м/с. Девочка, предположительно, стояла на месте или двигалась с меньшей скоростью, но условие задачи подразумевает, что столкновение произошло на ровной поверхности в конце спуска, и дальнейшее движение происходит вместе. Для простоты предположим, что девочка была сбита и сразу присоединилась к движущейся системе, и их дальнейшее совместное движение происходит с той же скоростью, что и у мальчика перед столкновением, так как трение пренебрежимо мало и нет внешних сил, изменяющих их скорость. Однако, если интерпретировать "в конце спуска он сбил девочку и дальше на санках ехали они вместе", это может означать, что они продолжили движение с общей скоростью, которая будет определяться суммарным импульсом. Но так как столкновение произошло в конце спуска, где скорость уже установилась, и далее они ехали вместе, это подразумевает, что их совместная скорость будет равна скорости, которую они приобрели к этому моменту. Если же рассматривать это как неупругое столкновение, то в конце спуска (где скорость уже 14 м/с) они как бы "соединились", и их новая общая скорость будет определяться законом сохранения импульса, но в данном случае, поскольку нет внешних горизонтальных сил, импульс системы "мальчик+санки" перед "столкновением" с девочкой (если она была неподвижна) равен импульсу системы "мальчик+санки+девочка" после.

Импульс до сбития девочки (система "мальчик+санки"): \( p_{м+с} = M_{м+с} v_{м+с} = M_{м+с} · 14 \) кг*м/с.

Предположим, что девочка была неподвижна в момент сбития. Ее импульс был равен 0.

После сбития, общая масса \( M_{общ} = 1.5 M_{м+с} \). Пусть их совместная скорость будет \( V_{общ} \).

По закону сохранения импульса (в горизонтальном направлении):

\[ p_{м+с} + p_д = M_{общ} V_{общ} \]

\[ M_{м+с} · 14 + 0 = (1.5 M_{м+с}) V_{общ} \]

\[ 14 M_{м+с} = 1.5 M_{м+с} V_{общ} \]

\[ V_{общ} = \(\frac{14}{1.5}\) = \(\frac{14}{3/2}\) = \(\frac{28}{3}\) ≈ 9.33 \) м/с.

Ответ: Скорость мальчика и девочки вместе составила приблизительно 9.33 м/с.