№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (см. рис). Докажите, что AK = BK.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники OAK и OBK. Нам дано, что ∠OAK = ∠OBK.

Также, OA и OB являются радиусами окружности, поэтому OA = OB. OK является общей стороной для обоих треугольников.

Рассмотрим треугольник OAK. OA = OK (радиусы), значит, треугольник OAK — равнобедренный. Следовательно, ∠OKA = ∠OAK.

Рассмотрим треугольник OBK. OB = OK (радиусы), значит, треугольник OBK — равнобедренный. Следовательно, ∠OKB = ∠OBK.

Из условия задачи ∠OAK = ∠OBK.

Так как ∠OKA = ∠OAK и ∠OKB = ∠OBK, и ∠OAK = ∠OBK, то отсюда следует, что ∠OKA = ∠OKB.

Теперь рассмотрим треугольники OAK и OBK:

• OA = OB (радиусы).
• ∠OAK = ∠OBK (дано).
• OK — общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), треугольники OAK и OBK равны.

Из равенства треугольников OAK и OBK следует, что их соответствующие стороны равны, в том числе AK = BK.

Доказано.