3. На рисунке отрезок РК параллелен стороне ВС, луч РМ является биссектрисой угла KPD. Найдите величину угла PMD.

Решение:

Дано: РК || ВС, РМ — биссектриса ∠KPD.

Найти: ∠PMD.

1. Так как РК || ВС, то ∠RPK = ∠PBC = 50° (как соответственные углы при параллельных прямых РК и ВС и секущей PB).
2. Так как РМ — биссектриса ∠KPD, то ∠RPM = ∠MPD = \(\frac{1}{2}∠KPD\).
3. Угол ∠KPD и ∠RPK — смежные, их сумма равна 180°.
4. ∠KPD = 180° - ∠RPK = 180° - 50° = 130°.
5. ∠MPD = \(\frac{1}{2} \times 130° = 65°\).
6. Угол ∠KPD и угол ∠PMD являются углами при пересечении прямых PK и BD. ∠KPD = ∠MPD.
7. Рассмотрим треугольник, образованный точками P, M и точкой пересечения PM с KD.
8. В треугольнике BPC: ∠PBC = 50°, ∠BCP = 70°. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
9. ∠BPC = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°.
10. Угол ∠KPD является развернутым углом, но на рисунке изображен острый угол. Предполагаем, что P находится на отрезке BD.
11. Угол ∠KPD является внешним углом треугольника BPC при вершине P. Однако, на рисунке P находится на отрезке BD, а K - на отрезке CD.
12. Предположим, что РК || ВС. Угол ∠RPK = 50°.
13. ∠KPD — развернутый угол, значит, ∠KPD = 180°.
14. Луч РМ — биссектриса ∠KPD, значит, ∠RPM = ∠MPD = 180° / 2 = 90°.
15. В треугольнике PBM: ∠PBM = 50°.
16. Угол ∠KPB = 180° - 50° = 130° (смежные углы).
17. Рассмотрим треугольник BPC. Угол C = 70°, угол B = 50°. Угол при P = 180 - (50+70) = 60°.
18. Предположим, что P лежит на отрезке BD. Тогда ∠RPK = ∠PBC = 50° (соответственные углы).
19. ∠KPD — прямой угол, так как PK || BC, а BD — секущая, и ∠RPK + ∠KPD = 180° (если PK и BD пересекаются).
20. На рисунке лучше видно, что ∠RPK = 50°.
21. ∠KPD — смежный угол к ∠RPK. ∠KPD = 180° - 50° = 130°.
22. РМ — биссектриса ∠KPD. ∠MPD = ∠KPD / 2 = 130° / 2 = 65°.
23. Угол ∠PMD — это тот же угол ∠MPD.

Ответ: 65°.