3. \( \int_{1}^{2} \left(\frac{x+1}{x}\right)^2 dx \)

Решение:

1. Возведём выражение в скобках в квадрат: \( \left(\frac{x+1}{x}\right)^2 = \frac{(x+1)^2}{x^2} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2} \)
2. Разделим числитель на \( x^2 \): \( \frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{2}{x} + x^{-2} \)
3. Проинтегрируем полученное выражение: \( \int_{1}^{2} (1 + 2x^{-1} + x^{-2}) dx \)
4. Применим правила интегрирования: \( \left[ x + 2\ln|x| + \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} \)
5. Упростим: \( \left[ x + 2\ln|x| - \frac{1}{x} \right]_{1}^{2} \)
6. Подставим пределы интегрирования: \( \left( 2 + 2\ln|2| - \frac{1}{2} \right) - \left( 1 + 2\ln|1| - \frac{1}{1} \right) \)
7. Вычислим: \( \left( 2 + 2\ln2 - 0.5 \right) - \left( 1 + 0 - 1 \right) = 1.5 + 2\ln2 - 0 = 1.5 + 2\ln2 \)

Ответ: \( 1.5 + 2\ln2 \)