26) В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 5. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, угол B равен 120°. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).

2. Проведем высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, BH делит основание AC пополам: \( AH = HC \) и \( \angle ABH = \angle CBH = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH равен 30°, угол ABH равен 60°, угол AHB равен 90°.

4. Нам дана высота, проведённая из вершины A. Обозначим ее как AD. Условие гласит, что высота, проведённая из вершины А, равна 5. То есть, AD = 5. Важно отметить, что в условии задачи, скорее всего, допущена неточность: высота, проведённая из вершины В к основанию АС, является более стандартной для решения задач такого типа. Однако, будем исходить из условия, что высота из А равна 5.

5. В прямоугольном треугольнике ADС (где D лежит на прямой BC, или если AD - высота к стороне BC), угол ACD равен 30°. В этом случае, используя тригонометрию: \( \text{tg}(30^\circ) = \frac{AD}{CD} \) и \( \text{tg}(30^\circ) = \frac{AC}{2 \cdot BC} \) — это не совсем верно, т.к. AD = 5, а не высота из B.

6. Давайте предположим, что задача имела в виду высоту, проведённую из вершины B к основанию AC, и она равна 5. В прямоугольном треугольнике ABH: \( \text{tg}(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} \). \( \text{tg}(30^\circ) = \frac{BH}{AH} \). \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{AH} \). Тогда \( AH = 5 \sqrt{3} \).

7. Так как BH — медиана, то \( AC = 2 \cdot AH \). \( AC = 2 \cdot 5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3} \).

8. Если же строго следовать условию, что высота из А равна 5. Пусть эта высота проведена к стороне BC. Обозначим ее как AD = 5. В треугольнике ABC, \( \angle BAC = 30^\circ \), \( \angle BCA = 30^\circ \), \( \angle ABC = 120^\circ \). Треугольник ABC равнобедренный. Пусть AD - высота к стороне BC. В прямоугольном треугольнике ADC, \( \angle C = 30^\circ \). \( \text{tg}(30^\circ) = \frac{AD}{CD} \) → \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{CD} \) → \( CD = 5\sqrt{3} \).

9. Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB = BC. Рассмотрим треугольник ABD. \( \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) (если D лежит вне отрезка BC, что возможно, т.к. угол B тупой. Но высота из А к BC может быть и внутри треугольника, если мы рассматриваем угол C=30, A=30. Тогда треугольник ABC является равнобедренным и остроугольным, что противоречит углу B=120. Значит, D лежит на продолжении стороны BC).

10. Если AD - высота к BC, то D лежит на продолжении BC. В прямоугольном треугольнике ADC: \( \angle C = 30^\circ \), \( AD = 5 \). \( AC = \frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{1/2} = 10 \).

11. В треугольнике ABC, по теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \). \( \frac{AC}{\sin(120^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)} \). \( AC = BC \u0007 \frac{\sin(120^\circ)}{\sin(30^\circ)} = BC \u0007 \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = BC \u0007 \sqrt{3} \).

12. Если AC = 10, то \( 10 = BC \u0007 \sqrt{3} \), \( BC = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \).

13. Рассмотрим треугольник ABD. \( \angle ABC = 120^\circ \), значит \( \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). \( \text{tg}(\angle ABD) = \frac{AD}{BD} \). \( \text{tg}(60^\circ) = \frac{5}{BD} \). \( \sqrt{3} = \frac{5}{BD} \). \( BD = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \).

14. \( CD = CB + BD = \frac{10\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \). Это совпадает с расчетом из пункта 8.

15. Значит, если высота из вершины А равна 5, то длина стороны АС равна 10.

Ответ: 10.