22. Постройте график функции y = (x²+x)·|x| / x+1. Определите, при каких значениях т прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Рассмотрим два случая для \( |x| \):

Случай 1: \( x \ge 0 \)

Тогда \( |x| = x \). Функция принимает вид:

\[ y = \frac{x^2 + x}{x+1} · x = \frac{x(x+1)}{x+1} · x \]

При \( x \neq -1 \), \( x+1 \) сокращается:

\[ y = x · x = x^2 \]

Учитывая, что \( x \ge 0 \) и \( x \neq -1 \), мы строим график функции \( y = x^2 \) для \( x \ge 0 \). Это часть параболы.

Случай 2: \( x < 0 \)

Тогда \( |x| = -x \). Функция принимает вид:

\[ y = \frac{x^2 + x}{x+1} · (-x) = \frac{x(x+1)}{x+1} · (-x) \]

При \( x \neq -1 \), \( x+1 \) сокращается:

\[ y = x · (-x) = -x^2 \]

Учитывая, что \( x < 0 \) и \( x \neq -1 \), мы строим график функции \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \).

График:

Для \( x \ge 0 \), график — часть параболы \( y = x^2 \).

Для \( x < 0 \), график — часть параболы \( y = -x^2 \).

В точке \( x = -1 \) функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль. При \( x = -1 \), \( y = -(-1)^2 = -1 \) (по формуле для \( x < 0 \)), но так как \( x \neq -1 \), эта точка ( -1; -1 ) будет выколотой.

Определение значений \( m \):

Прямая \( y = m \) не имеет с графиком ни одной общей точки, если значение \( m \) находится ниже самой нижней точки графика или является значением выколотой точки.

Минимальное значение \( y \) на графике функции \( y = x^2 \) (для \( x > 0 \)) стремится к 0, но не достигает его (для \( x=0 \), \( y=0 \)).

Минимальное значение \( y \) на графике функции \( y = -x^2 \) (для \( x < 0 \)) стремится к \( -∞ \).

Единственная выколотая точка имеет координаты \( (-1, -1) \).

Значит, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) будет меньше или равно значению выколотой точки, а также если \( m \) будет отрицательным числом, меньшим или равным 0 (так как \( y = x^2 \) для \( x > 0 \) всегда \( y > 0 \) кроме \( x=0 \)).

Наименьшее значение, которое принимает функция (кроме выколотой точки) — это 0 при \( x = 0 \).

Выколотая точка имеет координату \( y = -1 \).

Таким образом, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) будет ниже выколотой точки, то есть \( m < -1 \), а также если \( m \) будет равно значению выколотой точки, т.е. \( m = -1 \).

Ответ: Прямая \( y = m \) не имеет с графиком ни одной общей точки при \( m \le -1 \).