2. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки К(-4; 6), М (6; - 4) и диаметром КМ и уравнение прямой, проходящей через указанные точки.

Решение:

1. Уравнение окружности:

Центр окружности \( O \) — середина диаметра КМ. Координаты середины отрезка \( (x_m, y_m) \) находятся по формулам: \( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \) и \( y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \).

Для точек \( K(-4; 6) \) и \( M(6; -4) \):

\[ x_O = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ y_O = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Итак, центр окружности \( O(1; 1) \).

Радиус \( R \) равен половине длины диаметра КМ. Длина диаметра \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).

\[ d = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (-4 - 6)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \]\[ R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]

Уравнение окружности с центром \( (a, b) \) и радиусом \( R \) имеет вид: \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \).

\[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (5\sqrt{2})^2 \]\[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 50 \]

2. Уравнение прямой, проходящей через точки К и М:

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), можно найти по формуле: \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \).

\[ \frac{x - (-4)}{6 - (-4)} = \frac{y - 6}{-4 - 6} \]\[ \frac{x + 4}{10} = \frac{y - 6}{-10} \]

Умножим обе части на \( -10 \):

\[ -(x + 4) = y - 6 \]\[ -x - 4 = y - 6 \]\[ y = -x - 4 + 6 \]\[ y = -x + 2 \]

Ответ: Уравнение окружности: \( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 50 \). Уравнение прямой: \( y = -x + 2 \).