2. \( \int_{-1}^{1} \frac{dx}{D 2+x^2} \)

Решение:

В данном интеграле присутствует опечатка в знаменателе. Предполагая, что имелось в виду \( \int_{-1}^{1} \frac{dx}{2+x^2} \).

1. Применим формулу для интеграла вида \( \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C \). Здесь \( a^2 = 2 \), следовательно \( a = \sqrt{2} \).
2. Вычислим определённый интеграл: \( \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{2}}) \right]_{-1}^{1} \)
3. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{-1}{\sqrt{2}}) \)
4. Так как \( \arctan(x) \) — нечётная функция, \( \arctan(-x) = -\arctan(x) \).
5. Упростим: \( \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} (-\arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})) = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \)
6. Окончательный результат: \( \sqrt{2} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \)

Ответ: \( \sqrt{2} \arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}) \)