18. Периметр равнобедренного треугольника равен 42см, разность двух сторон равна 6 см, в одни из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \). Периметр \( P = 2a + b = 42 \) см.

Возможны два случая для разности сторон:

Случай 1: Разность боковой стороны и основания равна 6 см.

\( a - b = 6 \) или \( b - a = 6 \).

Если \( a - b = 6 \), то \( a = b + 6 \).

Подставим в периметр: \( 2(b + 6) + b = 42 \).

\( 2b + 12 + b = 42 \).

\( 3b = 30 \).

\( b = 10 \) см.

Тогда \( a = 10 + 6 = 16 \) см.

Стороны: 16 см, 16 см, 10 см.

Проверим неравенство треугольника: \( 16 + 10 > 16 \) (26 > 16 - верно), \( 16 + 16 > 10 \) (32 > 10 - верно).

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника является острым, если угол при вершине тупой. Внешний угол при вершине равен сумме углов при основании. Если углы при основании острые, внешний угол при вершине тупой. Если угол при вершине острый, то внешний угол тупой. Внешний угол при основании (углы при основании равны) будет тупым, если угол при вершине острый. В данном случае, внешний угол может быть острым. Внешний угол равен 180° минус внутренний угол. Если внутренний угол при основании острый, внешний угол при основании тупой. Если внутренний угол при вершине острый, то внешний угол при вершине тупой.

В данном случае, углы при основании \( \alpha \) и угол при вершине \( \beta \). \( 2\alpha + \beta = 180° \). Если \( \beta \) острый, то \( \alpha \) тупой. Если \( \alpha \) острый, то \( \beta \) может быть острым или тупым. Условие, что внешний угол острый, означает, что внутренний угол тупой. Если внешний угол при основании острый, то внутренний угол при основании тупой. В равнобедренном треугольнике углы при основании всегда острые. Следовательно, внешний угол при основании всегда тупой. Значит, внешний угол может быть острым только при вершине. Это значит, что внутренний угол при вершине должен быть тупым.

Для сторон 16, 16, 10. Угол напротив стороны 10 (угол при вершине) будет меньше углов напротив сторон 16. \( \cos \beta = \frac{16^2 + 16^2 - 10^2}{2 \cdot 16 \cdot 16} = \frac{256 + 256 - 100}{512} = \frac{412}{512} \). Это положительное число, значит, угол \( \beta \) острый.

Если \( b - a = 6 \), то \( b = a + 6 \).

Подставим в периметр: \( 2a + (a + 6) = 42 \).

\( 3a + 6 = 42 \).

\( 3a = 36 \).

\( a = 12 \) см.

Тогда \( b = 12 + 6 = 18 \) см.

Стороны: 12 см, 12 см, 18 см.

Проверим неравенство треугольника: \( 12 + 12 > 18 \) (24 > 18 - верно), \( 12 + 18 > 12 \) (30 > 12 - верно).

В этом случае, сторона 18 см является гипотенузой. Угол, противолежащий основанию 18 см (угол при вершине), будет тупым, так как он больше 90°. Внешний угол при вершине будет острым (180° - тупой угол = острый угол).

Случай 2: Разность оснований равна 6 см.

Такого случая нет, так как основание только одно.

Случай 3: Разность боковых сторон равна 6 см.

Это возможно только если стороны не равны, что противоречит условию равнобедренного треугольника.

Итак, подходящие стороны: 12 см, 12 см, 18 см.

Ответ: Стороны треугольника равны 12 см, 12 см, 18 см.