17. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной прямоугольника. Пусть угол между диагональю и стороной равен 51°.

Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника, \( d \) — диагональ. Диагонали пересекаются под углом \( \alpha \).

Из прямоугольного треугольника, образованного сторонами \( a, b \) и диагональю \( d \):

\( \tan(51^\circ) = \frac{b}{a} \).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной \( a \). Этот треугольник равнобедренный. Угол при вершине (между диагоналями) равен \( \alpha \). Углы при основании равны \( \beta \).

\( 2\beta + \alpha = 180^\circ \).

Также, угол между диагоналями и стороной \( b \) равен \( 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \).

В равнобедренном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной \( a \), углы при основании равны \( 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \). Тогда острый угол между диагоналями равен \( 180^\circ - 2 × 39^\circ = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \). Это тупой угол.

Острый угол между диагоналями равен \( 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).

Альтернативный подход:

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( a \) и двумя половинами диагоналей. Угол между стороной \( a \) и диагональю равен \( 51^\circ \). Угол между стороной \( b \) и диагональю равен \( 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ \).

В равнобедренном треугольнике, образованном стороной \( a \) и половинами диагоналей, углы при основании равны \( 39^\circ \). Тогда угол между диагоналями равен \( 180^\circ - (39^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \) (тупой угол).

Острый угол между диагоналями равен \( 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ \).

Ответ: 78