14. В равнобокой трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большое основание на отрезки 20см и 40см. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть большее основание трапеции равно \( b \), а меньшее — \( a \). Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Один отрезок равен меньшему основанию (или его части), а второй — половине разности оснований. В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Один из них равен меньшему основанию, а второй равен половине разности оснований. Таким образом, если большая часть отрезка равна 20 см, то меньшее основание \( a = 20 \) см. Тогда разность оснований \( b - a \) равна \( 2 \cdot 40 \) см или \( 2 \cdot 20 \) см, в зависимости от того, какой отрезок делит высота. Если предположить, что высота делит большее основание на отрезки \( x \) и \( y \) так, что \( x + y = b \), и \( x \) — это та часть, которая примыкает к меньшему основанию, тогда \( x = a \), а \( y = \frac{b-a}{2} \). В нашем случае, больший отрезок равен 40 см, а меньший — 20 см. Значит, \( a = 20 \) см. Большее основание \( b = x + y \). Если \( x = a \), то \( y = 40 \) см. Тогда \( b = a + 2y = 20 + 2 \times 40 = 100 \) см. Но это противоречит условию, что высота делит большее основание. Если высота делит большее основание, то меньший отрезок равен \( \frac{b-a}{2} \), а больший отрезок равен \( a + \frac{b-a}{2} = \frac{a+b}{2} \). По условию, один отрезок 20 см, другой 40 см. Значит, \( \frac{b-a}{2} = 20 \) см и \( \frac{a+b}{2} = 40 \) см. Из первого уравнения: \( b - a = 40 \). Из второго уравнения: \( a + b = 80 \). Сложим два уравнения: \( (b - a) + (a + b) = 40 + 80 \) \( 2b = 120 \) \( b = 60 \) см. Тогда \( a = 80 - b = 80 - 60 = 20 \) см. Проверим: \( \frac{60-20}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) см. \( \frac{20+60}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) см. Всё сходится.

Ответ: а) 20 см и 60 см