13. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 40, боковое ребро равно 101. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник. Боковая поверхность пирамиды состоит из шести одинаковых равнобедренных треугольников.

1. Находим площадь основания:

Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников. Сторона равностороннего треугольника равна стороне шестиугольника, то есть \( a = 40 \).

Площадь равностороннего треугольника: \( S_{тр} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)

Площадь шестиугольника: \( S_{осн} = 6 \cdot S_{тр} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \)

\( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 40^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1600 = 3\sqrt{3} \cdot 800 = 2400\sqrt{3} \)

2. Находим площадь боковой поверхности:

Боковая поверхность состоит из 6 одинаковых треугольников. Для нахождения площади каждого треугольника нам нужно найти его высоту (апофему пирамиды).

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной \( a = 40 \). Апофема шестиугольника (высота равностороннего треугольника основания) равна \( h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 40 = 20\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника — сторона шестиугольника \( b = 40 \), боковое ребро — \( l = 101 \). Нам нужно найти высоту этого треугольника (апофему пирамиды, \( h_п \)).

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, делит основание пополам: \( \frac{b}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного апофемой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром:

\( h_п^2 + (\frac{b}{2})^2 = l^2 \)

\( h_п^2 + 20^2 = 101^2 \)

\( h_п^2 + 400 = 10201 \)

\( h_п^2 = 10201 - 400 = 9801 \)

\( h_п = \sqrt{9801} = 99 \)

Площадь одной боковой грани (треугольника): \( S_{гр} = \frac{1}{2} \cdot основание · высота = \frac{1}{2} · b · h_п = \frac{1}{2} · 40 · 99 = 20 · 99 = 1980 \).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей шести боковых граней:

\( S_{бок} = 6 · S_{гр} = 6 · 1980 = 11880 \)

Ответ: 11880.