12. При каком значении n выполняется равенство 10²⁽ⁿ⁻¹⁾ = 10 000?

Решение:

Для решения данного уравнения приравняем показатели степеней, так как основания равны.

Сначала представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10:

\( 10000 = 10^4 \)

Теперь запишем исходное уравнение:

\( 10^{2(n-1)} = 10^4 \)

Так как основания степеней равны (10), то и их показатели должны быть равны:

\( 2(n-1) = 4 \)

Решим полученное линейное уравнение:

1. Разделим обе части уравнения на 2:
\( \frac{2(n-1)}{2} = \frac{4}{2} \)
\( n-1 = 2 \)
2. Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
\( n - 1 + 1 = 2 + 1 \)
\( n = 3 \)

Проверим найденное значение \( n \) подставив его в исходное уравнение:

\( 10^{2(3-1)} = 10^{2(2)} = 10^4 = 10000 \)

Равенство выполняется.

Ответ: \( n = 3 \).