10. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа.

Решение:

Пусть первое четырёхзначное число будет \( \overline{abcd} \), где \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) — цифры. Число кратно 5, значит, \( d = 0 \) или \( d = 5 \). Второе число, полученное в обратном порядке, — \( \overline{dcba} \). Поскольку второе число тоже четырёхзначное, \( d \) не может быть 0, следовательно, \( d = 5 \). Тогда \( a \) не может быть 0, а \( d = 5 \), значит, \( a \) может быть любой цифрой от 1 до 9. Второе число будет \( \overline{5cba} \).

Из условия следует:

\[ \overline{abcd} - \overline{dcba} = 2457 \]

Подставим \( d = 5 \):

\[ \overline{abc5} - \overline{5cba} = 2457 \]

Распишем числа по разрядам:

\[ (1000a + 100b + 10c + 5) - (5000 + 100c + 10b + a) = 2457 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ 1000a + 100b + 10c + 5 - 5000 - 100c - 10b - a = 2457 \]

\[ 999a + 90b - 90c - 4995 = 2457 \]

\[ 999a + 90b - 90c = 2457 + 4995 \]

\[ 999a + 90b - 90c = 7452 \]

Разделим всё на 9:

\[ 111a + 10b - 10c = 828 \]

Так как \( a \) — первая цифра четырёхзначного числа, \( a \) может быть от 1 до 9. Так как \( d = 5 \), а \( a \) — первая цифра, а \( d \) — последняя цифра второго числа, то \( a \) не может быть 5. Если \( a \) будет меньше 5, то \( \overline{abcd} \) будет меньше \( \overline{dcba} \), что противоречит условию.

Попробуем \( a = 8 \):

\[ 111 \cdot 8 + 10b - 10c = 828 \]

\[ 888 + 10b - 10c = 828 \]

\[ 10b - 10c = 828 - 888 \]

\[ 10b - 10c = -60 \]

\[ b - c = -6 \]

Так как \( b \) и \( c \) — цифры от 0 до 9, единственное решение — \( b = 0 \) и \( c = 6 \).

Проверим: \( a = 8, b = 0, c = 6, d = 5 \). Число — 8065. Обратное число — 5608. Разность: \( 8065 - 5608 = 2457 \). Число 8065 кратно 5.

Пример такого числа: 8065.