10. Сколько четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?

Решение:

Для составления четырехзначного числа из цифр 1, 2, 3, 4, где все цифры различны, мы можем использовать формулу для числа размещений без повторений, так как порядок цифр важен.

У нас есть 4 различные цифры, и нам нужно выбрать 4 из них и расположить их в определенном порядке. Количество таких размещений равно числу перестановок из 4 элементов.

Число размещений из \( n \) по \( k \) вычисляется по формуле: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \).

В нашем случае \( n = 4 \) (количество доступных цифр) и \( k = 4 \) (количество цифр в числе).

\( P(4, 4) = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} \)

Так как \( 0! = 1 \), то:

\( P(4, 4) = \frac{4!}{1} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

Другой способ рассуждения:

Для первой цифры (тысячи) у нас есть 4 варианта (1, 2, 3, 4).

Для второй цифры (сотни) у нас остается 3 варианта (так как цифры не должны повторяться).

Для третьей цифры (десятки) у нас остается 2 варианта.

Для четвертой цифры (единицы) у нас остается 1 вариант.

Общее количество чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции: \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \).

Ответ: 24.