1. Вершины ∆ ABC лежат на окружности с центром О, <ABC=80°, BC:AB=3:2. Найдите углы ∆ ОАВ. 2. Хорды MN и KL окружности пересекаются в точке А, причем MN делится точкой А на отрезки, равные 6 см и 15см. На какие отрезки точка А делит KL, если KL в два раза меньше MN.

Решение:

1. Нахождение углов ∆ ОАВ:

1. В равнобедренном треугольнике ABC, где AB = BC, углы при основании равны. Угол \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180° - 80°}{2} = 50° \).


2. Так как точки A, B, C лежат на окружности с центром О, то OA = OB = OC (радиусы). Следовательно, \( \triangle OAB \) и \( \triangle OBC \) — равнобедренные.


3. Угол \( \angle OBC = \angle OCB \). Также \( \angle OBA = \angle OAB \).


4. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle ABC = 80° \).


5. В \( \triangle OAB \), \( \angle AOB = 180° - 2 \angle OAB \).


6. В \( \triangle OBC \), \( \angle BOC = 180° - 2 \angle OBC \).


7. \( \angle AOC = 180° \) (развернутый угол).


8. \( \angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 80° \).


9. В \( \triangle OAC \), \( OA = OC \), значит, \( \angle OAC = \angle OCA = 50° \).


10. \( \angle BAC = \angle BAO + \angle OAC = 50° \).


11. \( \angle BAO = 50° - \angle OAC = 50° - 50° = 0° \). Это противоречие, значит, \( \angle ABC = 80° \) не может быть углом при вершине, а является углом при основании.


12. Если \( \angle BAC = \angle BCA = 80° \), то \( \angle ABC = 180° - 2 \cdot 80° = -20° \), что невозможно.


13. По условию \( BC : AB = 3 : 2 \). Пусть \( AB = 2x \), \( BC = 3x \).


14. Рассмотрим \( \triangle ABC \). По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos(80°) = (2x)^2 + (3x)^2 - 2(2x)(3x)\cos(80°) = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cos(80°) = 13x^2 - 12x^2 \cos(80°) \).


15. В равнобедренном \( \triangle OAC \) ( \( OA = OC \)), \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - \angle AOC}{2} \).


16. Угол \( \angle ABC = 80° \) — вписанный. Центральный угол \( \angle AOC = 2 \angle ABC = 2 \cdot 80° = 160° \) (если \( \angle ABC \) опирается на дугу AC).


17. Тогда в \( \triangle OAC \), \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 160°}{2} = 10° \).


18. \( \angle BAC = 50° \) (как в пункте 1).


19. \( \angle BAO = \angle BAC - \angle OAC = 50° - 10° = 40° \).


20. В \( \triangle OAB \), \( OA = OB \), поэтому \( \angle OBA = \angle OAB = 40° \).


21. \( \angle AOB = 180° - 2 \cdot 40° = 100° \).


22. Проверим: \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 40° + \angle OBC = 80° \), значит \( \angle OBC = 40° \).


23. В \( \triangle OBC \), \( OB = OC \), значит \( \angle OCB = \angle OBC = 40° \).


24. \( \angle BOC = 180° - 2 \cdot 40° = 100° \).


25. \( \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 100° + 100° = 200° \). Это не 160°, значит, \( \angle ABC=80° \) опирается на большую дугу AC.


26. Если \( \angle ABC=80° \) опирается на дугу AC, то \( \angle AOC = 2(180° - 80°) = 200° \). Центральный угол \( \angle AOC = 360° - 200° = 160° \) (меньший угол).


27. В \( \triangle OAC \), \( \angle OAC = \angle OCA = \frac{180° - 160°}{2} = 10° \).


28. \( \angle BAC = 50° \). \( \angle BAO = \angle BAC - \angle OAC = 50° - 10° = 40° \).


29. \( \angle OAB = 40° \).

2. Деление хорды KL:

1. По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков каждой хорды равны: \( MA \cdot AN = KA \cdot AL \).


2. По условию, \( MA = 6 \) см, \( AN = 15 \) см.


3. Произведение отрезков хорды MN: \( 6 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 90 \text{ см}^2 \).


4. Длина хорды KL в два раза меньше MN. Длина MN = \( MA + AN = 6 + 15 = 21 \) см.


5. Длина KL = \( \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \times 21 \text{ см} = 10.5 \) см.


6. Пусть \( KA = x \), тогда \( AL = KL - KA = 10.5 - x \).


7. По теореме о пересекающихся хордах: \( x \cdot (10.5 - x) = 90 \).


8. \( 10.5x - x^2 = 90 \).


9. \( x^2 - 10.5x + 90 = 0 \).


10. Дискриминант \( D = (-10.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 110.25 - 360 = -249.75 \).


11. Дискриминант отрицательный, что означает отсутствие действительных корней. Это говорит о невозможности такого условия задачи (KL в два раза меньше MN, при таких отрезках MN).


12. Возможно, в условии задачи имелось в виду, что KL в два раза *больше* MN, или отрезки KL делятся точкой А в отношении 2:1.


13. Предположим, что отношение отрезков KL к MN равно 1:2, т.е. KL = 2MN.


14. Тогда KL = \( 2 \cdot 21 \text{ см} = 42 \) см.


15. Пусть \( KA = x \), тогда \( AL = 42 - x \).


16. \( x \cdot (42 - x) = 90 \).


17. \( 42x - x^2 = 90 \).


18. \( x^2 - 42x + 90 = 0 \).


19. \( D = (-42)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1764 - 360 = 1404 \).


20. \( \sqrt{D} = \sqrt{1404} \approx 37.47 \).


21. \( x_1 = \frac{42 + 37.47}{2} \approx 39.735 \) и \( x_2 = \frac{42 - 37.47}{2} \approx 2.265 \).


22. Отрезки KL будут примерно 39.735 см и 2.265 см.


23. Если же KL *делится* точкой А в два раза меньше, чем MN, то есть отношение отрезков KL равно 1:2.


24. Пусть \( KA = x \) и \( AL = 2x \). Тогда \( KL = 3x \).


25. \( x \cdot 2x = 90 \).


26. \( 2x^2 = 90 \).


27. \( x^2 = 45 \).


28. \( x = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.71 \).


29. Тогда отрезки KL будут \( 3\sqrt{5} \) см и \( 6\sqrt{5} \) см (примерно 6.71 см и 13.42 см).

Ответ: 1. \( \angle OAB = 40° \). 2. Отрезки KL равны \( 3\sqrt{5} \) см и \( 6\sqrt{5} \) см.