1. Найдите значение выражения: a) \( \frac{-6\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + \frac{\sqrt{324}}{6} \) b) \( a^{\frac{2}{3}} : a^{\frac{3}{2}} \) при \( a = 0,1 \) в) \( 5\log_{3} 8 \cdot \log_{2} 8 \) г) \( 2\log_{2} 3 + \log_{2} \frac{1}{3} \)

Решение:

1. a)
   

   \( \frac{-6\sqrt[4]{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + \frac{\sqrt{324}}{6} = -6 \cdot 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{4}} + \frac{18}{6} = -18 \cdot 3^{\frac{1}{4}} + 3 \)

2. б)
   

   \( a^{\frac{2}{3}} : a^{\frac{3}{2}} = a^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = a^{\frac{4-9}{6}} = a^{-\frac{5}{6}} \)
   При \( a = 0,1 = \frac{1}{10} \):
   \( \left(\frac{1}{10}\right)^{-\frac{5}{6}} = 10^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{10^5} \)

3. в)
   

   \( 5\log_{3} 8 \cdot \log_{2} 8 = 5\log_{3} 2^3 \cdot 3 = 5 \cdot 3 \cdot \log_{3} 2 \cdot 3 = 45 \log_{3} 2 \)

4. г)
   

   \( 2\log_{2} 3 + \log_{2} \frac{1}{3} = \log_{2} 3^2 + \log_{2} 3^{-1} = \log_{2} 9 - \log_{2} 3 = \log_{2} \frac{9}{3} = \log_{2} 3 \)

Ответ: а) \( -18 \cdot 3^{\frac{1}{4}} + 3 \), б) \( 10^{\frac{5}{6}} \), в) \( 45\log_{3} 2 \), г) \( \log_{2} 3 \).