1. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b₁ = 3√2, q = √2

Решение:

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии используем формулу:

\[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]

Где \( b_1 = 3\sqrt{2} \), \( q = \sqrt{2} \), \( n = 6 \).

1. Вычислим \( q^n \):
2. \[ q^6 = (\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{6/2} = 2^3 = 8 \]
3. Подставим значения в формулу суммы:
4. \[ S_6 = 3\sqrt{2} \frac{8 - 1}{\sqrt{2} - 1} = 3\sqrt{2} \frac{7}{\sqrt{2} - 1} = \frac{21\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \]
5. Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{2} + 1 \):
6. \[ S_6 = \frac{21\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{21\sqrt{2}\sqrt{2} + 21\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{21 \cdot 2 + 21\sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{42 + 21\sqrt{2}}{1} = 42 + 21\sqrt{2} \]

Ответ: \( 42 + 21\sqrt{2} \)