1) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle A = 30^{\circ}\), \(BC = 2\sqrt{3}\). Найти: \(AC\).

Решение:

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) известно, что \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle A = 30^{\circ}\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), значит, \(\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\) (\(30^{\circ}\)), а сторона \(AC\) — напротив угла \(B\) (\(60^{\circ}\)).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы. Следовательно, \(BC = \frac{1}{2} AB\).

Также, в прямоугольном треугольнике тангенс угла \(A\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]\[ \tan 30^{\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{AC} \]\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{AC} \]\[ AC = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \]

Ответ: \(AC = 6\).