№ 1. АВ и АС- отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Решение:

Так как АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из одной точки А к окружности, то АВ = АС.

По условию, АВ = 12 см, следовательно, АС = 12 см.

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Гипотенуза АО, катеты АВ и ВО (радиус окружности).

По теореме Пифагора:

\[ AO^2 = AB^2 + BO^2 \]

\[ AO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \]

\[ AO = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]

Ответ: АС = 12 см, АО = 15 см.